1. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
Trong chương tr×nh trung học phæ th«ng, "H×nh häc kh«ng gian" lµ m«n häc
kh¸ míi mÏ ®èi víi häc sinh líp 11. PhÇn lín häc sinh c¶m thÊy ch¸n n¶n, ng¹i
ngïng khi tiÕp xóc víi m«n häc ®ßi hái nhiÒu kü n¨ng vµ tư duy trõu tượng cao
nµy. Mét chñ ®Ò chÝnh vµ xuyªn suèt chương tr×nh häc lµ "Bµi to¸n thiÕt diÖn". Tuy
bµi to¸n kh«ng thËt míi, nhưng nÕu thùc hiÖn tèt chñ ®Ò nµy, häc sinh sÏ cã c¸ch
nh×n tæng quan vÒ h×nh học kh«ng gian, nhËn thøc s©u s¾c h¬n vÒ mèi quan hÖ l«gic
gi÷a c¸c tÝnh chÊt vµ ®Þnh lý trong chương tr×nh, hạn chế những sai lầm thường gặp
để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn. Bµi viÕt “Bài toán thiết diện và những
sai lầm thường gặp của học sinh lớp 11” nµy gióp c¸c em häc sinh hiÓu râ h¬n
c¸ch x¸c ®Þnh thiÕt diÖn vµ tr¸nh mét sè sai lÇm thường gÆp th«ng qua mét sè bµi
to¸n tiªu biÓu .
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. §Þnh nghÜa
Trong kh«ng gian cho h×nh ®a diÖn (H ) vµ mÆt ph¼ng ( ) . ThiÕt diÖn cña (H )
khi c¾t bëi ( ) lµ phÇn chung cña ( ) vµ (H ) .
2. C¸ch x¸c ®Þnh thiÕt diÖn
T×m c¸c ®o¹n giao tuyÕn cña ( ) víi c¸c mÆt cña h×nh (H ) , c¸c ®o¹n giao tuyÕn
nèi tiÕp nhau t¹o thµnh mét ®a gi¸c ph¼ng, ®ã lµ thiÕt diÖn cÇn t×m.
VËy ta cÇn quan t©m ®Õn:
+ T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt:
- T×m hai ®iÓm chung cña hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt ®ã, hoÆc
- T×m mét ®iÓm chung vµ phương cña giao tuyÕn.
+ C¸c tÝnh chÊt thõa nhËn vµ mét sè ®Þnh lý cña h×nh häc kh«ng gian.
a. TÝnh chÊt thõa nhËn 4 (SGK hh NC, p43)
NÕu hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt cã mét ®iÓm chung th× chóng cã mét đường th¼ng
chung duy nhÊt chøa tÊt c¶ c¸c ®iÓm chung cña hai mÆt ph¼ng ®ã.
b. §Þnh lý (SGK hh NC, p44)
NÕu mét đường th¼ng ®i qua hai ®iÓm ph©n biÖt cña mét mÆt ph¼ng th× mäi
®iÓm cña đường th¼ng ®Òu n»m trong mÆt ph¼ng ®ã.
c. §Þnh lý (vÒ giao tuyÕn cña ba mp, SGK hh NC 11, p53)
NÕu ba mÆt ph¼ng ®«i mét c¾t nhau theo ba giao tuyÕn ph©n biÖt th× ba giao
tuyÕn Êy hoÆc ®ång quy hoÆc ®«i mét song song.
d. HÖ qu¶ (hÖ qu¶ ®Þnh lý vÒ giao tuyÕn cña ba mÆt ph¼ng)
NÕu hai mÆt ph¼ng c¾t nhau lÇn lượt ®i qua hai đường th¼ng song song cho
trước th× giao tuyÕn cña chóng song song víi hai đường th¼ng ®ã (hoÆc trïng víi
mét trong hai đường th¼ng ®ã).
e. HÖ qu¶ (hq 2, SGK hh NC 11, p58)
NÕu hai mÆt ph¼ng c¾t nhau cïng song song víi mét đường th¼ng th× giao tuyÕn
cña chóng song song víi đường th¼ng ®ã.
f. TÝnh chÊt (tÝnh chÊt 2, SGK hh NC 11, p63)
NÕu hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) song song th× mäi mÆt ph¼ng (R) c¾t (P) th× ph¶i
c¾t (Q) vµ c¸c giao tuyÕn cña chóng song song.
g. HÖ qu¶ (HÖ qu¶ 2, SGK hh NC 11, p107)
NÕu hai mÆt ph¼ng c¾t nhau vµ cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng thø ba th× giao
tuyÕn cña chóng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng thø ba.
Ths. Nguyễn Thanh Quang 1

2. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
II. DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
* Khi làm việc với bài toán dựng thiết diện chúng ta thường phải biết cách phân
tích, xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của mặt phẳng cắt đối với các mặt của
hình (H ) , đồng thời cần lựa chọn cách giải ngắn gọn, thích hợp đối với từng bài
toán.
* Với bài toán thiết diện trong hình học không gian lớp 11, ta thường gặp những
dạng toán cơ bản sau:
D¹ng 1. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña ®a diÖn khi c¾t bëi mÆt ph¼ng ( ) .
D¹ng 2. T×m ®iÒu kiÖn cña mÆt ph¼ng hoÆc cña ®a diÖn ®Ó thiÕt diÖn tháa
tÝnh chÊt nµo ®ã.
D¹ng 3. TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch thiÕt diÖn.
D¹ng 4. T×m GTLN, GTNN cña thiÕt diÖn khi mÆt ph¼ng thay ®æi.
III. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
VÝ dô 1.
Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD. Ba ®iÓm A', B', C' lÇn lượt n»m trªn ba c¹nh SA,
SB, SC nhưng kh«ng trïng víi S, A, B, C. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp khi c¾t
bëi mÆt ph¼ng (A'B'C').
Gi¶i.
H×nh a H×nh b
Gäi O  AC  BD , O'  A' C' SO , D'  B' O' SD . Khi ®ã x¶y ra hai trường hîp sau:
Trường hîp 1: D' thuéc ®o¹n SD , ta cã A' B'  (SAB)  ( A' B' C' )
B' C '  (SBC )  ( A' B' C ' )
C ' I  (SCD)  ( A' B' C ' )
IJ  ( ABCD )  ( A' B' C ' )
JA'  (SDA)  ( A' B' C ' )
ThiÕt diÖn cÇn t×m lµ tø gi¸c A' B' C' D' (h×nh a).
Trường hợp 2: D' kh«ng thuéc ®o¹n SD . Gäi I  C' D'CD , J  A' D' AD . Ta cã
A' B'  (SAB)  ( A' B' C' )
B' C '  (SBC )  ( A' B' C ' )
C ' D'  (SCD)  ( A' B' C ' )
D' A'  (SDA)  ( A' B' C ' )
ThiÕt diÖn cÇn t×m lµ ngò gi¸c A' B' C' IJ (h×nh b).
Chó ý. Sai lÇm thường gÆp cña häc sinh:
-C¸c em lÊy ®iÓm D lµ tïy ý trªn SD mµ kh«ng ph¶i lµ giao ®iÓm cña B'O' víi SD.
-Các em nghĩ A ' B ' cắt BC !!
-C¸c em chØ xÐt trường hîp 1 mµ kh«ng quan t©m ®Õn trường hîp 2.
Ths. Nguyễn Thanh Quang 2

3. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
VÝ dô 2. Cho h×nh chãp S. ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O . Gäi M , N
lÇn lượt là trung điểm của các đoạn DC, BC . Mp ( ) qua MN và song song với BD
cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
HD.
Có thể xảy ra hai trường hợp sau:
+ ( ) cắt đoạn SC tại K , lúc đó dễ thấy thiết diện thu được là tam giác MNK .
+ ( ) cắt đoạn SA tại J , lúc đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPJQ
Gọi I  MN  AC , G  IJ  SO
Cách 1.
G  ( )  ( SBD), MN // BD 
  ( )  ( SBD)  Gt // BD // MN
MN  ( ), BD  ( SBD) 
Gt cắt SB, SD lần lượt tại P, Q . Thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPJQ .
Cách 2. (Không dùng quan hệ song song)
Trong mp(ABCD ) gọi I  MN  AC , F  MN  AB , E  MN  AD .
Lúc đó P  JF  SB , Q  JE  SD . Thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPJQ .
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
-Chỉ xét được một trường hợp của thiết diện.
-Nghĩ MG cắt SB và NG cắt SD.
-Vẽ hình không chính xác nên PQ không qua G hoặc PQ không song song với MN.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tam giác S. ABC . Trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm
M , N , P sao cho MN không song song với AB . Gọi E, F là hai điểm theo thứ tự
thuộc miền trong các tam giác SAB , SAC .
a/ Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNP) ?
b/ Mp ( ) qua EF và song song với AC cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
HD.
a) Thiết diện cần tìm là tứ giác MNQP (hình a)
F  ( )  ( SAC ) 
b) Ta có   ( )  ( SAC )  IJ // AC ( IJ qua F )
AC  ( SAC ), AC //( )
Xảy ra hai trường hợp sau:
+Th1. JE  AB  K , khi đó thiết diện cần tìm là hình thang IJKL , ( IJ // KL) (hình b).
+Th2. JE  SB  K , khi đó thiết diện cần tìm là tam giác IJK , (hình c)
(hình a) (hình b) (hình c)
Ths. Nguyễn Thanh Quang 3

4. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
a) Có một số em nghĩ MN cắt BC , một số em lại nghĩ MP cắt BC hay cắt SB !!
b) -Có em nghĩ EF cắt AB , SC .
-Đa số các em chỉ xét được một trong hai trường hợp (hình b), hoặc (hình c).
Rút ra:
* Cách xác định thiết diện của hình ( ) khi cắt bởi mặt phẳng ( ) qua đường
thẳng a cho trước và song song với đường thẳng b cho trước.
+ Xác định các mặt phẳng chứa b (hoặc chứa đường thẳng song song với b ).
+ Tìm giao điểm của a với các mặt phẳng vừa xác định.
+ Từ các giao điểm đó dựng các đường thẳng song song với b rồi nối các điểm đó
lại. Ta lần lượt thu được các giao tuyến của ( ) với các mặt của hình ( ) .
* Tương tự ta cũng dễ xác định được thiết diện qua một điểm M cho trước và song
song với hai đường thẳng cho trước (hay song song với một mp cho trước). (1)
Ví dụ 4. Cho hình chóp SABCD, điểm K thuộc cạnh SD. Gọi N là trung điểm của
AB. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ) qua KN và song song với
AC.
HD. Thiết diện là ngũ giác MNPQK.
Rút ra: Cách xác định thiết diện của hình ( ) khi cắt bởi mặt phẳng ( ) , biết
( ) qua M và vuông góc với đường thẳng  cho trước.
m   m  ( )
Nhớ:  
( )   m // ( )
+ Tìm hai đường thẳng a, b qua M và vuông góc với  (bài toán trở thành (1))
+ Xác định mp chứa M và  , trong mp này ta dựng đường thẳng qua M và
vuông với  . Tìm điểm chung của ( ) và mặt nào đó của ( ) , tiếp tục quy
trình trên để có được các đoạn giao tuyến cần tìm.
Ví dụ 5. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC cạnh đáy bằng a , đường cao
SO  2a . M là điểm thuộc đường cao AA ' của tam giác ABC sao cho
AM  x, (0  x  a 3) . ( ) qua M và vuông góc với AA ' cắt hình chóp theo thiết
diện là hình gì?
HD. Có hai trường hợp xảy ra:
2a 3
*T/h1: 0  x  , thiết diện là tam giác IJK cân tại K. (hình a)
3
Ths. Nguyễn Thanh Quang 4

5. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
2a 3
*T/h2:  x  a 3 , thiết diện là hình thang cân IJKL, (IJ // KL) (hình b).
3
Hình a Hình b
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
-Các em dựng sai thiết diện (không có yếu tố vuông góc cũng như song song).
-Có một số em không xét được hai trường hợp của thiết diện.
-Có một số em chỉ nói được thiết diện là tam giác hoặc hình thang chứ không
chỉ ra ‘cân’.
Thực ra đây cũng chính là bài toán (1), ( ) song song với SO và BC .
Rút ra: Cách xác định thiết diện của hình ( ) khi cắt bởi mặt phẳng ( ) , biết
( ) qua a và vuông góc với mp ( P) cho trước.
( )  ( P) b  ( )
Nhớ:  
b  ( P) b // ( )
+ Mục đích ta tìm đường thẳng b vuông góc với ( P) .
-Nếu b và a cắt nhau thì ( P)  (a, b) .
-Nếu b và a không cắt nhau thì ( P) qua a và song song với b .
Ví dụ 6. Cho hình chóp đều S. ABCD cạnh đáy bằng a , SO là đường cao.
Mp ( ) qua điểm A, song song với CD và vuông góc với ( SCD) . Xác định thiết
diện của ( ) và hình chóp S. ABCD ?
HD. Dễ thấy ( ) chứa AB . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD . Khi đó
(SEF)  (SCD) . Trong mặt phẳng ( SEF) dựng EH  SF lúc đó ( )  ( ABH ) .
Thiết diện cần tìm là hình thang cân ABMN .
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
-Có một số em không xác định được thiết diện.
-Có một số em chỉ nói được thiết diện là hình thang chứ không chỉ ra ‘cân’.
-Có một số em lại kẻ AM  SC !
Ths. Nguyễn Thanh Quang 5

6. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
* Khi làm việc với bài toán tính diện tích của thiết diện ta cần phải thực hiện
qua các bước sau đây:
-Xác định thiết diện, thiết diện là hình gì.
-Lập công thức tính diện tích của thiết diện vừa xác định.
-Tìm các yếu tố có trong công thức rồi thay vào công thức.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD , ( ) là mặt phẳng bất kỳ song song với AC và BD cắt
tứ diện đã cho thành tứ giác PQRS với Q  BC . Xác định Q trên BC để:
a) PQRS là hình thoi?
b) PQRS có diện tích lớn nhất?
HD.
a) Dễ lý luận PQRS là hình bình hành.
PQ SP DP
Dựng Cx // BD , kéo dài DQ cắt Cx tại K , ta có  ( ) . Vì vậy PQRS là
CK CA DC
hình thoi thì cần có thêm PQ  SP hay CK  CA .
Cách dựng: + Dựng Cx // BD .
+ Lấy điểm K sao cho CK  CA .
+ Q  BC  DK .
+ Qua Q dựng ( ) // AC , ( ) // DB thì ( ) sẽ cắt tứ diện theo thiết diện là
hình thoi PQRS .
b) Đặt AC  a , BD  b ,   ( AC , BD) , suy ra góc SPQ bằng  . Đặt PQ  x , PS  y
Suy ra SPQRS  x.y.sin  .
x CP 
 
b CD  x y CP  DP
Ta có     1.
y DP  b a CD

a DC 
1 1
Áp dụng BĐT Côsi ta có x. y  a.b hay S PQRS  x. y.sin   a.b.sin  . Dấu bằng xảy ra
4 4
x y 1 b a
khi và chỉ khi   hay x  ; y  . Vậy Q là điểm giữa của đoạn BC .
b a 2 2 2
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
a) Không xác định được thiết diện.
Không dựng được Cx // BD để tìm được điểm Q thỏa đk bài toán.
b) Không xây dựng được tỉ số sau để áp dụng BĐT và tìm GTLN của diện tích
x y CP  DP
thiết diện    1.
b a CD
Ths. Nguyễn Thanh Quang 6

7. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
Ví dụ 8. Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm
của A' D' và C ' D' . Tìm diện tích của thiết diện cắt bởi mp (BIJ ) và hình lập phương.
HD. Có hai cách xác định thiết diện như hình vẽ.
Thiết diện cần tìm là ngũ giác BEIJF
Hình a Hình b
Hai cách tính diện tích thiết diện ngũ giác BEIJF :
C1+ Tổng diện tính hai hình (tam giác cân, hình thang cân).
C2+ Diện tích của hình chiếu đa giác và góc hợp bởi mp chứa đa giác và mp chiếu.
Ta giải bằng cách 2.
Gọi H  B' D'IJ . Dễ thấy IJ  ( BB' H ) nên   BHB'  (( BIJ ), ( A' B' C' D' )) .
Khi đó S A' B 'C ' JI  S EBFJI .cos  .
7 2
Tính được S A' B 'C ' JI  S A' B 'C ' D '  S ID ' J  a , cos   B' H  3 a 2
8 BH 4
7 17 2
Vậy S A' B 'C ' JI  a .
24
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
+Không xác định được thiết diện.
+Xác định được thiết diện nhưng không tính được diện tích thiết diện.
Ví dụ 9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , M , N là hai điểm di động trên các cạnh
AD, BC sao cho AM  CP  x, (0  x  a) . Mp ( ) qua MP và song song với CD
cắt tứ diện theo thiết diện là hình gi? Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhất.
 
HD. Đặt AM  AN  x , CP  DQ  x và CN  MD  a  x , NCB  MDQ  600 ,
suy ra MQ  NP . Thiết diện là hình thang cân MNPQ , ( MN // PQ)
1
SMNPQ  ( MN  PQ)EF ,
2
(a  x) 3 x 3
Tính được EI  NJ  , FI  ,
2 2
8 x 2  8ax  3a 2
EF 
2
a
SMNPQ  2(2 x  a) 2  a 2
4
a2 a
Và min S MNPQ  đạt được khi x 
4 2
Ths. Nguyễn Thanh Quang 7

8. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
+Không xác định được thiết diện, không tính được diện tích.
+Xác định được thiết diện nhưng không tính được diện tích thiết diện.
+Tính được diện tích nhưng không xác định được GTNN của diện tích.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S. ABCD có SA  ( ABCD) , SA  a 6 , ABCD là nửa
lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD  2a .
a) Tính d ( A,(SCD)), d ( AD,(SBC )) .
b) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp với ( ) , biết ( ) song song với
a 3
mp ( SAD) và cách ( SAD) một khoảng bằng
4
HD. (Dựng AE  BC, AF  SE, AH  SC ).
Dựa vào tính chất của lục giác đều tính được:
a 6
a) d ( A,( SCD))  AH  a 2 ; d ( AD,( SBC ))  AF  .
3
a2 6
b) ( ) cắt hình chóp tại trung điểm L của AE và ta có S MNPQ  .
2
Chú ý. Sai lầm thường gặp của các em học sinh:
+Không xác định được thiết diện.
+Xác định được thiết diện nhưng không tính được diện tích thiết diện.
IV. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Cho tứ diện ABCD , M là trung điểm của DA, N là điểm chia đoạn BD
3
theo tỉ số . Tìm thiết diện tạo bởi ( ) qua MN và song song với trung tuyến AI
4
của ABC .
Ths. Nguyễn Thanh Quang 8

9. Trường THPT Bình Sơn Sáng kiến kinh nghiệm 2009-2010
Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD đáy là đa giác lồi, O  AC  BD , M là trung điểm
của SA . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp ( ) qua O và song song
với BM và SD .
Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh a . M là một điểm trên
đoạn thẳng AC, đặt AM  x, (0  x  a 2) , ( ) là mặt phẳng qua M song song
với BD và vuông góc với ( ABCD) . Xác định thiết diện của ( ) với hình chóp.
Tính diện tích thiết diện thu được.
Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thoi cạnh a , tâm O, BAD  600 . 
3
SO  ( ABCD) , SO  a . E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. ( ) là
4
mặt phẳng qua AD và vuông góc với ( SBC ) . Xác định thiết diện của hình chóp với
( ) . Tính diện tích thiết diện đó.
AM 5
Bài 5. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' , M là điểm trên AB ' sao cho  .
MB 4
Xác định thiết diện của lăng trụ với mp ( P) qua M và song song với A ' C và
BC ' .
Bài 6. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , O là tâm hình bình hành A ' B ' C ' D ' , K là
trung điểm CD, E là trung điểm BO. Xác định thiết diện tạo bởi ( P) qua K và song
song với ( EAC ) .
Bài 7. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D. SA vuông với
đáy. ( P) là mặt phẳng qua SD và vuông góc với ( SAC ) . Xác định thiết diện tạo
bởi mp ( P) với hình chóp.
Với một số bài tập vừa nêu trên và những sai lầm thường gặp đã được chỉ ra, tôi
tin rằng các em sẽ có cách nhìn nhận bài toán hình học không gian một cách tốt
hơn, trưởng thành hơn trong quá trình làm toán tiếp theo.
Ths. Nguyễn Thanh Quang 9